№3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) параболой $y=(x-2)^2$, прямыми $x=0$ и $x=3$ и осью $Ox$; б) графиком функции $y=\frac4x$ при $x<0$, параболой $y=x^2+4x-1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: №3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) параболой $y=(x-2)^2$, прямыми $x=0$ и $x=3$ и осью $Ox$; б)…$ Фото задания

№3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) параболой $y=(x-2)^2$, прямыми $x=0$ и $x=3$ и осью $Ox$; б) графиком функции $y=\frac4x$ при $x<0$, параболой $y=x^2+4x-1$.

Accepted Answer

а) На отрезке $[0;3]$ функция $y=(x-2)^2$ неотрицательна, поэтому площадь равна:

\[S=\int_0^3(x-2)^2\,dx=\left(\frac{(x-2)^3}{3}\right)\Big|_0^3.\]

\[S=\frac{1^3}{3}-\frac{(-2)^3}{3}=\frac13+\frac83=3.\]

б) Найдём точки пересечения кривых:

\[\frac4x=x^2+4x-1,\qquad x\ne0.\]

\[4=x^3+4x^2-x,\]

\[x^3+4x^2-x-4=0,\]

\[(x+4)(x-1)(x+1)=0.\]

С учётом условия $x<0$ получаем точки пересечения при $x=-4$ и $x=-1$. На отрезке $[-4;-1]$ выше расположена гипербола $y=\frac4x$, поэтому:

\[S=\int_{-4}^{-1}\left(\frac4x-(x^2+4x-1)\right)dx.\]

\[S=\left(4\ln|x|-\frac{x^3}{3}-2x^2+x\right)\Big|_{-4}^{-1}.\]

\[S=-\frac83-\left(4\ln4-\frac{44}{3}\right)=12-4\ln4=12-8\ln2.\]

Ответ: а) $S=3$; б) $S=12-4\ln4=12-8\ln2$.

№3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) параболой \(y=(x-2)^2\), прямыми \(x=0\) и \(x=3\) и осью \(Ox\); б) графиком функции \(y=\frac4x\) при \(x<0\), параболой \(y=x^2+4x-1\).

Ответ: