№3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) параболой y=(x+2)², прямыми x=−3 и x=0 и осью Ox; *б) графиком функции y=4/x при x<0, параболой y=x²+4x−1.

а) На отрезке от \(-3\) до \(0\) парабола расположена над осью \(Ox\), поэтому площадь равна интегралу:

\(S=\int_{-3}^{0}(x+2)^2\,dx=\left[\frac{(x+2)^3}{3}\right]_{-3}^{0}=\frac83-\left(-\frac13\right)=3\).

б) Найдём точки пересечения графиков:

\(\frac4x=x^2+4x-1\), где \(x<0\). Умножая на \(x\), получаем \(x^3+4x^2-x-4=0=(x+4)(x-1)(x+1)\). С учётом условия подходят \(x=-4\) и \(x=-1\).

На отрезке \([-4;-1]\) график \(y=\frac4x\) расположен выше параболы (например, при \(x=-2\): \(-2>-5\)). Поэтому

\(S=\int_{-4}^{-1}\left(\frac4x-(x^2+4x-1)\right)dx\).

\(S=\left[4\ln|x|-\frac{x^3}{3}-2x^2+x\right]_{-4}^{-1}=12-4\ln4=12-8\ln2\).

Ответ: а) \(3\); б) \(12-8\ln2\).