3. Найдите площадь треугольника ABC, если AC = 5, AB = 14, BC = 12, а sin C = 8/10.

Данные условия противоречат друг другу: сторона \(AB=14\) лежит напротив угла \(C\). По теореме косинусов из заданных сторон:

\(\cos C=\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2\cdot AC\cdot BC}=\frac{25+144-196}{120}=-\frac{9}{40}.\)

Тогда \(\sin C=\sqrt{1-\cos^2 C}=\frac{7\sqrt{31}}{40}\), что не равно \(\frac{8}{10}\). Поэтому треугольника, удовлетворяющего всем указанным данным, не существует.

Если считать верными три длины сторон, площадь по формуле Герона равна \(\frac{21\sqrt{31}}{4}\). Если же использовать только \(AC=5\), \(BC=12\) и \(\sin C=\frac{8}{10}\), площадь равна \(\frac12\cdot5\cdot12\cdot\frac{8}{10}=24\), но тогда длина \(AB\) не будет равна 14.

Ответ: условие противоречиво; уточните, какие данные верны.