3. Найдите пятый член и сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии (bn), если b₁ = 9, а знаменатель q = 1/3.

Решение:

1. Найдем пятый член геометрической прогрессии по формуле \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \):

\( b_5 = 9 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{5-1} = 9 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 = 9 \cdot \frac{1}{81} = \frac{9}{81} = \frac{1}{9} \)

2. Найдем сумму четырёх первых членов прогрессии по формуле \( S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} \):

\( S_4 = \frac{9 \left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^4\right)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{9 \left(1 - \frac{1}{81}\right)}{\frac{2}{3}} = \frac{9 \cdot \frac{80}{81}}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{80}{9}}{\frac{2}{3}} = \frac{80}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{80 \cdot 3}{9 \cdot 2} = \frac{240}{18} = \frac{40}{3} \)

Ответ: \( b_5 = \frac{1}{9} \), \( S_4 = \frac{40}{3} \).