6. При каком значении х значения выражений 2х + 6, x + 7, x + 4 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Решение:

Если \( 2x+6, x+7, x+4 \) — последовательные члены геометрической прогрессии, то отношение каждого следующего члена к предыдущему равно знаменателю прогрессии \( q \).

\( \frac{x+7}{2x+6} = \frac{x+4}{x+7} \)

1. Перемножим крест-накрест:

\( (x+7)^2 = (2x+6)(x+4) \)

2. Раскроем скобки:

\( x^2 + 14x + 49 = 2x^2 + 8x + 6x + 24 \)

\( x^2 + 14x + 49 = 2x^2 + 14x + 24 \)

3. Приведем подобные слагаемые:

\( 2x^2 - x^2 + 14x - 14x + 24 - 49 = 0 \)

\( x^2 - 25 = 0 \)

4. Решим полученное квадратное уравнение:

\( x^2 = 25 \)

\( x = \pm 5 \)

Рассмотрим два случая:

Случай 1: \( x = 5 \)

Члены прогрессии:

\( 2(5) + 6 = 10 + 6 = 16 \)

\( 5 + 7 = 12 \)

\( 5 + 4 = 9 \)

Проверим, является ли прогрессия \( 16, 12, 9 \) геометрической:

\( q = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} \)

\( q = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \)

Знаменатель одинаковый, значит, это геометрическая прогрессия.

Случай 2: \( x = -5 \)

Члены прогрессии:

\( 2(-5) + 6 = -10 + 6 = -4 \)

\( -5 + 7 = 2 \)

\( -5 + 4 = -1 \)

Проверим, является ли прогрессия \( -4, 2, -1 \) геометрической:

\( q = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} \)

\( q = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2} \)

Знаменатель одинаковый, значит, это геометрическая прогрессия.

Ответ: \( x = 5 \) (члены прогрессии 16, 12, 9) или \( x = -5 \) (члены прогрессии -4, 2, -1).