3. Найдите угол между прямыми BC и NA. Точка N — середина ребра DD₁ куба. Ребро куба равно a. Решение: (Допишите недостающие слова и знаки.) Прямые BC и AD _____. Поэтому угол между прямыми BC и NA равен углу между прямыми _____ и NA. Рассмотрите треугольник NDA. В нём отрезок NA является _____ треугольника. NA = _____. cos ∠NAD = _____ = _____. Ответ: cos ∠NAD = _____.

В кубе BC ∥ AD. Поэтому угол между прямыми BC и NA равен углу между прямыми AD и NA.

N лежит на DD₁, а AD перпендикулярна DD₁, значит, треугольник NDA прямоугольный, ∠NDA = 90°.

Так как N — середина DD₁, то ND = a/2, а AD = a. По теореме Пифагора:

\(NA=\sqrt{AD^2+ND^2}=\sqrt{a^2+(a/2)^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.\)

Тогда \(\cos\angle NAD=\frac{AD}{NA}=\frac{a}{a\sqrt{5}/2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.\)

Ответ: cos ∠NAD = 2√5/5.