3. Найдите высоту, проведённую к основанию равнобедренного треугольника, если основание равно 12, а угол при основании равен 30°.

Решение:

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой.

Основание равно 12, значит, высота делит его пополам: \( 12 / 2 = 6 \) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковой стороной. В этом треугольнике:

• Катет, прилежащий к углу 30°, равен 6 см (половина основания).
• Высота \( h \) — катет, противолежащий углу 30°.

Используем тангенс угла:

\[ \tan(30^{\circ}) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{h}{6} \]\[ h = 6 \cdot \tan(30^{\circ}) \]\[ h = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} \]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \):

\[ h = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \]

Ответ: \( 2\sqrt{3} \).