3. Найдите значение числового выражения \( \frac{4^{17} + 12 \cdot 16^7 + 80 \cdot 64^4}{192^4} \).

Решение:

Преобразуем числитель и знаменатель, используя степень 4:

1. Числитель:
   \( 4^{17} = (2^2)^{17} = 2^{34} \)
   \( 12 \cdot 16^7 = 12 \cdot (2^4)^7 = 12 \cdot 2^{28} = (3 \cdot 4) \cdot 2^{28} = 3 \cdot 2^2 \cdot 2^{28} = 3 \cdot 2^{30} \)
   \( 80 \cdot 64^4 = 80 \cdot (2^6)^4 = 80 \cdot 2^{24} = (5 \cdot 16) \cdot 2^{24} = 5 \cdot 2^4 \cdot 2^{24} = 5 \cdot 2^{28} \).
2. Знаменатель:
   \( 192^4 = (64 \cdot 3)^4 = (2^6 \cdot 3)^4 = 2^{24} \cdot 3^4 \).

3. Это не совсем то, что нам нужно. Давайте попробуем представить числитель в другом виде, используя степень 4:

   \( 4^{17} = 4 \cdot (4^4)^4 = 4 \cdot 256^4 \)
   \( 12 \cdot 16^7 = 12 \cdot 16 \cdot (16^2)^3 = 192 \cdot 256^3 \)
   \( 80 \cdot 64^4 = 80 \cdot (4^3)^4 = 80 \cdot 64^4 \).

4. Попробуем упростить выражение, заметив, что \( 16 = 2^4 \) и \( 64 = 2^6 \).

   \( \frac{4^{17} + 12 \cdot 16^7 + 80 \cdot 64^4}{192^4} = \frac{(2^2)^{17} + 12 \cdot (2^4)^7 + 80 \cdot (2^6)^4}{(3 \cdot 2^6)^4} \)
   \( = \frac{2^{34} + 12 \cdot 2^{28} + 80 \cdot 2^{24}}{3^4 \cdot 2^{24}} \)
   \( = \frac{2^{24}(2^{10} + 12 \cdot 2^4 + 80)}{81 \cdot 2^{24}} \)
   \( = \frac{1024 + 12 \cdot 16 + 80}{81} \)
   \( = \frac{1024 + 192 + 80}{81} = \frac{1296}{81} \).

5. Теперь выполним деление:

   \( 1296 \div 81 = 16 \).

Ответ: 16