3. Найдите значение cosa, tga, ctga, если sina = -5/13 и 3π/2 < α < 2π.

3. Нахождение тригонометрических функций

Дано:

• \( \sin \alpha = -\frac{5}{13} \)
• \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \) (четвёртый квадрант)

Найти:

• \( \cos \alpha \), \( \text{tg} \alpha \), \( \text{ctg} \alpha \)

Решение:

1. Найдём \( \cos \alpha \)

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

\( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \)

\( \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 \)

\( \cos^2 \alpha = 1 - \frac{25}{169} \)

\( \cos^2 \alpha = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} \)

\( \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{144}{169}} = \pm \frac{12}{13} \)

Так как \( \alpha \) находится в четвёртом квадранте (от \( \frac{3\pi}{2} \) до \( 2\pi \)), косинус в этом квадранте положителен. Следовательно:

\( \cos \alpha = \frac{12}{13} \)

2. Найдём \( \text{tg} \alpha \)

Используем формулу: \( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).

\( \text{tg} \alpha = \frac{-\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = -\frac{5}{13} \cdot \frac{13}{12} = -\frac{5}{12} \)

3. Найдём \( \text{ctg} \alpha \)

Используем формулу: \( \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} \) или \( \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \).

\( \text{ctg} \alpha = \frac{1}{-\frac{5}{12}} = -\frac{12}{5} \)

Ответ: \( \cos \alpha = \frac{12}{13} \), \( \text{tg} \alpha = -\frac{5}{12} \), \( \text{ctg} \alpha = -\frac{12}{5} \).