3. Найдите значение выражения: а) (6⁻²)⁵ ⋅ (6³)⁻⁷; б) (1/8)⁻¹⁵ : (1/8)⁻¹³; в) 0,5⁶ : (0,5)⁻⁴; г) ((-13)⁻⁵)⁻⁸ : ((-13)⁻¹⁴)⁻³ - (1/13)²; д) 18⁵ ⋅ 2⁻⁹ / (3⁶ - 4 ⋅ 9⁸)

Решение:

1. а) (6⁻²)⁵ ⋅ (6³)⁻⁷
   • При возведении степени в степень, показатели перемножаются:
   • (6⁻²)⁵ = 6⁽⁻²*⁵⁾ = 6⁻¹⁰
   • (6³)⁻⁷ = 6⁽³*⁻⁷⁾ = 6⁻²¹
   • При умножении степеней с одинаковым основанием, показатели складываются:
   • 6⁻¹⁰ ⋅ 6⁻²¹ = 6⁽⁻¹⁰⁺⁽⁻²¹⁾⁾ = 6⁻³¹
2. б) (1/8)⁻¹⁵ : (1/8)⁻¹³
   • При делении степеней с одинаковым основанием, показатели вычитаются:
   • (1/8)⁻¹⁵ : (1/8)⁻¹³ = (1/8)⁽⁻¹⁵ ⁻ ⁽⁻¹³⁾⁾ = (1/8)⁽⁻¹⁵ ⁺ ¹³⁾ = (1/8)⁻²
   • Перевернем дробь и изменим знак показателя:
   • (1/8)⁻² = 8² = 64
3. в) 0,5⁶ : (0,5)⁻⁴
   • При делении степеней с одинаковым основанием, показатели вычитаются:
   • 0,5⁶ : (0,5)⁻⁴ = 0,5⁽⁶ ⁻ ⁽⁻⁴⁾⁾ = 0,5⁽⁶ ⁺ ⁴⁾ = 0,5¹⁰
   • Представим 0,5 как 1/2:
   • (1/2)¹⁰ = 1¹⁰ / 2¹⁰ = 1 / 1024
4. г) ((-13)⁻⁵)⁻⁸ : ((-13)⁻¹⁴)⁻³ - (1/13)²
   • Сначала упростим выражения в скобках:
   • ((-13)⁻⁵)⁻⁸ = (-13)⁽⁻⁵*⁻⁸⁾ = (-13)²⁶
   • ((-13)⁻¹⁴)⁻³ = (-13)⁽⁻¹⁴*⁻³⁾ = (-13)⁴²
   • Теперь выполним деление:
   • (-13)²⁶ : (-13)⁴² = (-13)⁽²⁶ ⁻ ⁴²⁾ = (-13)⁻¹⁶
   • Теперь упростим вторую часть:
   • (1/13)² = 1² / 13² = 1 / 13²
   • Так как (-13)⁻¹⁶ = 1/(-13)¹⁶ = 1/13¹⁶, то:
   • 1/13¹⁶ - 1/13²
   • Вынесем общий множитель 1/13²:
   • (1/13)² ⋅ (1/13¹⁴ - 1)
5. д) 18⁵ ⋅ 2⁻⁹ / (3⁶ - 4 ⋅ 9⁸)
   • Представим 18 как 2 ⋅ 9:
   • (2 ⋅ 9)⁵ ⋅ 2⁻⁹ / (3⁶ - 4 ⋅ (3²)⁸)
   • 2⁵ ⋅ 9⁵ ⋅ 2⁻⁹ / (3⁶ - 4 ⋅ 3¹⁶)
   • 2⁽⁵⁻⁹⁾ ⋅ 9⁵ / (3⁶ - 2² ⋅ 3¹⁶)
   • 2⁻⁴ ⋅ (3²)⁵ / (3⁶ - 2² ⋅ 3¹⁶)
   • 2⁻⁴ ⋅ 3¹⁰ / (3⁶ - 4 ⋅ 3¹⁶)
   • 1 / (2⁴) ⋅ 3¹⁰ / (3⁶ - 4 ⋅ 3¹⁶)
   • 3¹⁰ / (16 ⋅ (3⁶ - 4 ⋅ 3¹⁶))
   • 3¹⁰ / (16 ⋅ 3⁶ - 64 ⋅ 3¹⁶)
   • Вынесем общий множитель 3⁶ из знаменателя:
   • 3¹⁰ / (3⁶ ⋅ (16 - 64 ⋅ 3¹⁰))
   • 3⁽¹⁰⁻⁶⁾ / (16 - 64 ⋅ 3¹⁰)
   • 3⁴ / (16 - 64 ⋅ 3¹⁰)
   • 81 / (16 - 64 ⋅ 59049)
   • 81 / (16 - 3779136)
   • 81 / (-3779120)
   • Приблизительное значение: -0.00002143

Ответ: а) 6⁻³¹; б) 64; в) 1/1024; г) 1/13¹⁶ - 1/13²; д) 81 / (16 - 64 ⋅ 3¹⁰).