3. Найдите значение выражения \( \frac{(5^3)^5 \cdot 3^{16}}{9 \cdot 225^7} \).

Решение:

Для решения данного примера нужно привести все основания степеней к одному основанию. Заметим, что \( 9 = 3^2 \) и \( 225 = 15^2 = (3 \cdot 5)^2 = 3^2 \cdot 5^2 \).

Преобразуем выражение:

\( \frac{(5^3)^5 \cdot 3^{16}}{9 \cdot 225^7} = \frac{5^{3 \cdot 5} \cdot 3^{16}}{3^2 \cdot (3^2 \cdot 5^2)^7} \)

\( = \frac{5^{15} \cdot 3^{16}}{3^2 \cdot (3^{2 \cdot 7} \cdot 5^{2 \cdot 7})} \)

\( = \frac{5^{15} \cdot 3^{16}}{3^2 \cdot 3^{14} \cdot 5^{14}} \)

\( = \frac{5^{15} \cdot 3^{16}}{3^{2+14} \cdot 5^{14}} \)

\( = \frac{5^{15} \cdot 3^{16}}{3^{16} \cdot 5^{14}} \)

Теперь сократим степени с одинаковыми основаниями:

\( = 5^{15-14} \cdot 3^{16-16} \)

\( = 5^1 \cdot 3^0 \)

Поскольку любое число в нулевой степени равно 1, а любое число в первой степени равно самому себе:

\( = 5 \cdot 1 = 5 \)

Ответ: 5