3. Найдите значение выражения \(\frac{\sqrt{21} \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{6}}\).

Решение:

Воспользуемся свойствами корней: $$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$$ и $$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$$.

Сначала умножим корни в числителе:

\[ \sqrt{21} \cdot \sqrt{14} = \sqrt{21 \cdot 14} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 7)} = \sqrt{3 \cdot 2 \cdot 7^2} = 7 \sqrt{6} \]

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[ \frac{7 \sqrt{6}}{\sqrt{6}} \]

Сократим $$\sqrt{6}$$:

\[ \frac{7 \sqrt{6}}{\sqrt{6}} = 7 \]

Альтернативный способ:

Можно сразу объединить все под один корень:

\[ \frac{\sqrt{21} \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{21 \cdot 14}{6}} \]

Сократим дроби:

\[ \frac{21 \cdot 14}{6} = \frac{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 7)}{2 \cdot 3} \]

Сокращаем $$3$$ и $$2$$:

\[ \frac{\cancel{3} \cdot 7 \cdot \cancel{2} \cdot 7}{\cancel{2} \cdot \cancel{3}} = 7 \cdot 7 = 49 \]

Теперь извлекаем корень:

\[ \sqrt{49} = 7 \]

Ответ: 7