№3. Найти корни уравнения 2 sin 3x = \sqrt{3} на [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Находим общее решение уравнения:

• 2 sin 3x = \sqrt{3}
• sin 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}
• Общее решение уравнения sin(y) = \frac{\sqrt{3}}{2} имеет вид: y = \frac{\pi}{3} + 2\pi n или y = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, где n - целое число.
• В нашем случае y = 3x, поэтому:
• 3x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n => x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}
• 3x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n => x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}

2. Отбираем корни на промежутке [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]:

• Рассмотрим первое семейство решений: x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}.
• При n = 0: x = \frac{\pi}{9}. Это значение попадает в промежуток [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], так как -1.57 \approx -\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{9} \approx 0.349 < \frac{\pi}{2} \approx 1.57.
• При n = 1: x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi + 6\pi}{9} = \frac{7\pi}{9}. Это значение больше \frac{\pi}{2}, поэтому не подходит.
• При n = -1: x = \frac{\pi}{9} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi - 6\pi}{9} = -\frac{5\pi}{9}. Это значение меньше -\frac{\pi}{2}, поэтому не подходит.
• Рассмотрим второе семейство решений: x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}.
• При n = 0: x = \frac{2\pi}{9}. Это значение попадает в промежуток [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}].
• При n = 1: x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi + 6\pi}{9} = \frac{8\pi}{9}. Это значение больше \frac{\pi}{2}, поэтому не подходит.
• При n = -1: x = \frac{2\pi}{9} - \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi - 6\pi}{9} = -\frac{4\pi}{9}. Это значение попадает в промежуток [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], так как -1.57 \approx -\frac{\pi}{2} < -\frac{4\pi}{9} \approx -1.396 < \frac{\pi}{2} \approx 1.57.

Ответ: Корни уравнения на заданном промежутке: \frac{\pi}{9}, \frac{2\pi}{9}, -\frac{4\pi}{9}.