N2. Решить уравнения: 1) sin \frac{x}{2} = 1 2) 2 sin 3x = -1 3) (2 sin x + 1)(2+sin x) = 0

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1) sin \frac{x}{2} = 1

• Общее решение уравнения sin(y) = 1 имеет вид: y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, где n - целое число.
• В нашем случае y = \frac{x}{2}, поэтому: \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.
• Умножаем обе части на 2: x = \pi + 4\pi n.

2) 2 sin 3x = -1

• Разделим обе части на 2: sin 3x = -\frac{1}{2}.
• Общее решение уравнения sin(y) = -\frac{1}{2} имеет вид: y = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, где k - целое число.
• В нашем случае y = 3x, поэтому: 3x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k.
• Разделим обе части на 3: x = \frac{(-1)^{k+1}}{3} \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}.

3) (2 sin x + 1)(2+sin x) = 0

• Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
• Случай 1: 2 sin x + 1 = 0
  • 2 sin x = -1
  • sin x = -\frac{1}{2}
  • Общее решение: x = (-1)^{m+1} \frac{\pi}{6} + \pi m, где m - целое число.
• Случай 2: 2 + sin x = 0
  • sin x = -2.
  • Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса всегда находится в пределах от -1 до 1.

Ответ: 1) x = \pi + 4\pi n, n \in Z; 2) x = \frac{(-1)^{k+1}}{3} \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in Z; 3) x = (-1)^{m+1} \frac{\pi}{6} + \pi m, m \in Z