3. Найти углы трапеции ABCD. На рисунке отмечено, что AB = BC = CD, диагональ AC перпендикулярна CD, а AD ∥ BC.

Обозначим общую длину отмеченных отрезков через \(s\). Пусть горизонтальная проекция боковой стороны AB на основание AD равна \(x\), а высота трапеции — \(h\). Поскольку \(AB=CD\) и основания параллельны, проекция CD на AD также равна \(x\).

Из \(AB=BC=s\) получаем \(x^2+h^2=s^2\). Так как \(AC\perp CD\), скалярное произведение соответствующих направленных отрезков равно нулю: \(h^2=x(x+s)\). Подставим это в равенство для \(AB\): \(x^2+x(x+s)=s^2\), то есть \(2x^2+xs-s^2=0\). Положительное решение — \(x=s/2\). Тогда \(h^2=3s^2/4\), значит \(h=\sqrt3s/2\).

Для угла A: \(\tan\angle A=h/x=\sqrt3\), поэтому \(\angle A=60°\). Углы при одном боковом ребре трапеции supplementary: \(\angle B=180°-60°=120°\). Из равенства боковых сторон следует симметрия трапеции, поэтому \(\angle D=\angle A\), а \(\angle C=\angle B\).

Ответ: ∠A = ∠D = 60°, ∠B = ∠C = 120°.