3. Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Решение:

Пусть \( V \) — объём исходной треугольной пирамиды, \( V = 15 \).

Плоскость, проходящая через сторону основания и пересекающая противоположное боковое ребро в отношении 1:2, делит объём пирамиды в том же отношении, так как высота у образовавшихся меньших пирамид одинакова с исходной, а основания относятся как 1:2.

Таким образом, объёмы двух получившихся пирамид будут \( V_1 \) и \( V_2 \), где \( V_1 + V_2 = V \).

Отношение объёмов будет \( V_1 : V_2 = 1 : 2 \).

Найдём \( V_1 \) и \( V_2 \):

\( V_1 = \frac{1}{1+2} V = \frac{1}{3} \cdot 15 = 5 \)

\( V_2 = \frac{2}{1+2} V = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10 \)

Больший объём из двух получившихся пирамид — \( V_2 \).

Ответ: 10.