3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найти гипотенузу треугольника.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где ∠C = 90°.
2. Пусть один из острых углов равен 60°, например, ∠A = 60°. Тогда ∠B = 90° - 60° = 30°.
3. Меньшим катетом будет катет, противолежащий меньшему острому углу (30°), то есть катет BC.
4. Пусть гипотенуза AB = c, а меньший катет BC = a.
5. По условию, разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см: \( c - a = 15 \).
6. Из этого уравнения выразим a: \( a = c - 15 \).
7. В прямоугольном треугольнике ABC, синус угла B равен отношению противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB): \( \sin(\angle B) = \frac{BC}{AB} \).
8. Подставим известные значения: \( \sin(30°) = \frac{a}{c} \).
9. Значение \( \sin(30°) = 0.5 = \frac{1}{2} \).
10. Получаем уравнение: \( \frac{1}{2} = \frac{a}{c} \).
11. Отсюда \( c = 2a \).
12. Теперь у нас есть система из двух уравнений:
• 1) \( a = c - 15 \)
• 2) \( c = 2a \)
13. Подставим второе уравнение в первое: \( a = 2a - 15 \).
14. Решим относительно a: \( 15 = 2a - a \) \( a = 15 \) см.
15. Теперь найдем гипотенузу c, используя второе уравнение: \( c = 2a = 2 imes 15 = 30 \) см.
16. Проверим условие: разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. \( c - a = 30 - 15 = 15 \) см. Условие выполняется.

Ответ: 30 см