3. Один из углов равнобедренной трапеции равен 60°, а диагональ трапеции делит этот угол пополам. Найдите периметр трапеции, если её большее основание равно 14 см.

Пусть большее основание равно 14 см, меньшее — b см. Обозначим через x горизонтальный отступ каждого конца меньшего основания от большего. Тогда x = (14 − b) : 2. Проведём высоту h. Рассматриваем диагональ, которая делит пополам угол 60° при большем основании.

В прямоугольном треугольнике у боковой стороны угол при большем основании равен 60°, поэтому h = x√3.

Горизонтальная проекция диагонали от вершины этого угла до противоположной вершины равна 14 − x. Поскольку диагональ делит угол 60° пополам, она образует с основанием угол 30°. Поэтому h = (14 − x) · tan 30° = (14 − x) / √3.

Приравниваем выражения для h: x√3 = (14 − x) / √3, откуда 3x = 14 − x, x = 3,5 см. Значит, меньшее основание b = 14 − 2x = 7 см.

Боковая сторона равна 2x = 7 см: её горизонтальная проекция равна x, а угол при основании — 60°, следовательно, длина стороны равна x / cos 60° = 2x.

Периметр равен 14 + 7 + 2 · 7 = 35 см.

Ответ: 35 см.