3. Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна √8 и образует с плоскостью этой грани угол 45°. Найдите объем параллелепипеда.

Пусть сторона квадратной грани равна \(a\), а высота параллелепипеда — \(h\). Проекция пространственной диагонали на плоскость грани является диагональю квадрата: \(a\sqrt2\).

Так как угол между диагональю и плоскостью равен \(45^\circ\),

\[a\sqrt2=\sqrt8\cos45^\circ=2.\]

Отсюда \(a=\sqrt2\).

Высота равна перпендикулярной составляющей диагонали:

\[h=\sqrt8\sin45^\circ=2.\]

Объем:

\[V=a^2h=(\sqrt2)^2\cdot2=2\cdot2=4.\]

Ответ: 4