3. Однородная лестница массой m и длиной ℓ опирается на стену, образуя с полом угол α (см. рис.). Найдите момент силы трения F_тр относительно точки O.

Линия действия силы трения \(F_{\text{тр}}\) вертикальна и проходит через верхний конец лестницы. Плечо этой силы относительно точки O — горизонтальное расстояние до её линии действия.

Поскольку угол между лестницей и полом равен α, горизонтальная проекция лестницы длины ℓ равна \(\ell\cos\alpha\).

Сила трения направлена вверх, а её линия действия находится слева от O, поэтому момент направлен по часовой стрелке. Принимая против часовой стрелки за положительное направление, получаем \(M_O=-F_{\text{тр}}\ell\cos\alpha\).

Ответ: \(M_O=-F_{\text{тр}}\ell\cos\alpha\); модуль момента равен \(F_{\text{тр}}\ell\cos\alpha\).