3. Около правильного треугольника АВС со стороной 12 см описана окружность с центром О. 1) Найдите площадь сектора, содержащего дугу АС. 2) Какой отрезок является образом стороны ВС при повороте вокруг центра О против часовой стрелки на угол 120° ?

1. Площадь сектора, содержащего дугу АС:

Правильный треугольник ABC вписан в окружность. Центр окружности O является центром треугольника. Дуга AC составляет 1/3 окружности, так как правильный треугольник делит окружность на три равные дуги.

Угол BOC (центральный угол, опирающийся на дугу BC) равен $$\frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$$. Аналогично, углы AOB и AOC также равны $$120^\circ$$.

Радиус описанной окружности ($$R$$) для правильного треугольника со стороной $$a$$ находится по формуле:

\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

В нашем случае $$a = 12$$ см.

\[ R = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \text{ см} \]

Площадь сектора вычисляется по формуле:

\[ S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ} \]

где $$\alpha$$ — центральный угол сектора. Угол, соответствующий дуге AC, равен $$120^\circ$$.

\[ S_{АС} = \frac{\pi (4\sqrt{3})^2 \cdot 120^\circ}{360^\circ} \]

\[ S_{АС} = \frac{\pi (16 \cdot 3) \cdot 1}{3} \]

\[ S_{АС} = \frac{48\pi}{3} \]

\[ S_{АС} = 16\pi \text{ см}^2 \]

2. Образ стороны ВС при повороте:

При повороте вокруг центра О против часовой стрелки на угол $$120^\circ$$:

• Вершина B перейдет в вершину C (так как угол BOC равен $$120^\circ$$, и поворот происходит против часовой стрелки).
• Вершина C перейдет в вершину A (так как угол COA равен $$120^\circ$$, и поворот происходит против часовой стрелки).

Таким образом, отрезок BC перейдет в отрезок CA.

Ответ:

• Площадь сектора, содержащего дугу АС: $$16\pi$$ см².
• Образом стороны ВС при повороте является отрезок СА.