3. Окружность. 1) Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 20% окружности. Ответ дайте в градусах. 2) В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 110°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах. 3) Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. 4) Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах. 5) Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 110°, угол ABD равен 70°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

1. Дуга составляет 20% окружности, то есть 0,2 · 360° = 72°. Вписанный угол равен половине дуги: 72°/2 = 36°.

2. Так как AC — диаметр, дуга ABC составляет 180°. Угол AOD = 110° стягивает меньшую дугу AD, равную 110°. Поскольку BD — диаметр, дуги AD и AB составляют полуокружность, поэтому дуга AB = 180° − 110° = 70°. Вписанный угол ACB опирается на дугу AB, значит, ∠ACB = 70°/2 = 35°.

3. Углы ABC и ADC, опирающиеся на хорду AC с разных сторон, дополнительны: ∠ADC = 180° − 105° = 75°. В треугольнике ACD угол ACD = 180° − 75° − 35° = 70°. Углы ABD и ACD опираются на одну хорду AD, поэтому ∠ABD = 70°.

4. Углы ABD и ACD опираются на одну хорду AD, поэтому ∠ACD = 75°. В треугольнике ACD ∠ADC = 180° − 75° − 35° = 70°. Противоположные углы вписанного четырёхугольника дополнительны, следовательно, ∠ABC = 180° − 70° = 110°.

5. ∠CBD = ∠ABC − ∠ABD = 110° − 70° = 40°. Углы CAD и CBD опираются на одну хорду CD, поэтому ∠CAD = 40°.

Ответ: 1) 36°; 2) 35°; 3) 70°; 4) 110°; 5) 40°.