3. Окружность вписана в треугольник АВС, М, К и P — точки ее касания со сторонами. Используя данные, указанные на рисунке, найдите сторону ВС.

Дано:

• Окружность вписана в ΔABC.
• M, K, P — точки касания.
• BK = BP = 4
• CK = CM = 7
• AP = AL = 8 (ошибка в условии, должно быть AP = AM, но на рисунке M - точка касания на AC, а P - на AB. Примем, что AM = AP = 8)

Найти: BC

Решение:

1. Свойства касательных: Из точки, данной вне окружности, к ней можно провести две касательные, и отрезки от этой точки до точек касания равны.
2. Применим свойство к вершинам треугольника:
• От вершины B: BK = BP. По рисунку BP = 4, следовательно, BK = 4.
• От вершины C: CM = CK. По рисунку CK = 7, следовательно, CM = 7.
• От вершины A: AP = AM. По рисунку AP = 8, следовательно, AM = 8.
3. Найдем длину стороны BC:
• BC = BK + KC
• BC = 4 + 7
• BC = 11

Ответ: 11