3. Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, диагональ которого равна 12 см и наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Дано:

• Осевое сечение цилиндра – прямоугольник.
• Диагональ прямоугольника \(d = 12\) см.
• Угол наклона диагонали к основанию \(\alpha = 60^{\circ}\).

Найти: Площадь полной поверхности цилиндра.

Решение:

1. Находим высоту и диаметр основания цилиндра:

   В осевом сечении (прямоугольнике) диагональ, высота \(h\) и диаметр основания \(D\) образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю и диаметром основания равен \(\alpha = 60^{\circ}\).

   • Высота цилиндра \(h\) является катетом, противолежащим углу \(60^{\circ}\).
   • Диаметр основания \(D\) является катетом, прилежащим к углу \(60^{\circ}\).

   Используем тригонометрические соотношения:

   \[ \sin(60^{\circ}) = \frac{h}{d} \implies h = d \sin(60^{\circ}) = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ см} \]\[ \cos(60^{\circ}) = \frac{D}{d} \implies D = d \cos(60^{\circ}) = 12 \times \frac{1}{2} = 6 \text{ см} \]
2. Находим радиус основания:

   Радиус \(r = \frac{D}{2} = \frac{6}{2} = 3\) см.

3. Находим площадь полной поверхности цилиндра:

   Формула полной поверхности цилиндра: \(S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} = 2\pi r^2 + 2\pi r h\).

   \[ S_{полн} = 2\pi (3^2) + 2\pi (3)(6\sqrt{3}) \]\[ S_{полн} = 2\pi (9) + 36\pi\sqrt{3} \]\[ S_{полн} = 18\pi + 36\pi\sqrt{3} \text{ см}^2 \]\[ S_{полн} = 18\pi(1 + 2\sqrt{3}) \text{ см}^2 \]

Ответ: 18\(\pi\)(1 + 2\(\sqrt{3}\)) см²