4. Металлический шар диаметром 1 дм переплавлен в 64 одинаковых шарика. Найдите радиус (см) этих шариков. Потерями металла при переплавке можно пренебречь.

Дано:

• Диаметр большого шара \(D = 1\) дм.
• Количество маленьких шариков \(n = 64\).
• Потери металла пренебрежимы.

Найти: Радиус маленьких шариков \(r_{мал}\) (в см).

Решение:

1. Переводим диаметр большого шара в сантиметры:

   \(1\) дм = \(10\) см.

   Диаметр большого шара \(D_{大} = 10\) см.

2. Находим радиус большого шара:

   Радиус \(R = \frac{D_{大}}{2} = \frac{10}{2} = 5\) см.

3. Находим объем большого шара:

   Объем шара вычисляется по формуле \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\).

   \[ V_{大} = \frac{4}{3}\pi (5^3) = \frac{4}{3}\pi (125) = \frac{500\pi}{3} \text{ см}^3 \]
4. Находим объем одного маленького шарика:

   Объем большого шара равен сумме объемов 64 маленьких шариков, так как потери металла пренебрежимы.

   Объем одного маленького шарика \(V_{мал} = \frac{V_{大}}{n}\).

   \[ V_{мал} = \frac{\frac{500\pi}{3}}{64} = \frac{500\pi}{3 \times 64} = \frac{500\pi}{192} \text{ см}^3 \]
5. Находим радиус маленького шарика:

   Объем маленького шарика также выражается формулой \(V_{мал} = \frac{4}{3}\pi r_{мал}^3\).

   \[ \frac{4}{3}\pi r_{мал}^3 = \frac{500\pi}{192} \]

   Сокращаем \(\pi\) и умножаем обе стороны на \(\frac{3}{4}\):

   \[ r_{мал}^3 = \frac{500}{192} \times \frac{3}{4} = \frac{500 \times 3}{192 \times 4} = \frac{1500}{768} \]

   Упрощаем дробь, деля числитель и знаменатель на 12:

   \[ r_{мал}^3 = \frac{125}{64} \]\[ r_{мал} = \sqrt[3]{\frac{125}{64}} = \frac{5}{4} \text{ см} = 1.25 \text{ см} \]

Ответ: 1.25 см