3. Основание прямой призмы АВСА1В1С1 — прямоугольный треугольник, катеты ВС и АС которого равны 4√6. Плоскость АВС₁ наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь сечения.

Решение:

Дано:
Прямая призма ABC A₁B₁C₁.
Основание: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^{\circ} \).
Катеты \( BC = AC = 4\sqrt{6} \).

Плоскость ABC₁ наклонена к плоскости основания ABC под углом 30°.

Найти: Площадь сечения — \( \triangle ABC_1 \).

1. Найдём площадь основания \( S_{ABC} \):
Так как \( \triangle ABC \) — прямоугольный с равными катетами, он равнобедренный.
\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{6}) \cdot (4\sqrt{6}) = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48 \] (единиц площади).

2. Найдём высоту призмы (AA₁ = BB₁ = CC₁ = h):
Угол между плоскостью ABC₁ и плоскостью основания ABC — это линейный угол двугранного угла по ребру AB.

Проведём из C₁ перпендикуляр C₁H к плоскости основания ABC, где H — точка на AB. Тогда C₁H = h.

Проведём из C перпендикуляр CD к AB. Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный прямоугольный, то CD является высотой и медианой, то есть D — середина AB. Угол \( \angle CDB = 45^{\circ} \) (если считать, что AB — гипотенуза, но нам нужен угол между плоскостями).

Угол наклона плоскости ABC₁ к плоскости основания ABC равен 30°.
Ребро этого двугранного угла — линия AB. Чтобы найти линейный угол, нужно провести перпендикуляры к AB в обеих плоскостях из одной точки.

Пусть \( C_1H \perp ABC \) и \( CD \perp AB \), где \( D \) — точка на AB. Тогда \( \angle C_1DC = 30^{\circ} \) — линейный угол. Это не совсем верно, так как H может не совпадать с D.

Рассмотрим высоту призмы \( h = CC_1 \).
В \( \triangle ACC_1 \) — прямоугольном ( \( \angle C = 90^{\circ} \)), \( AC = 4\sqrt{6} \).

Пусть H — проекция C₁ на плоскость основания. Тогда C₁H = h (высота призмы).
AB — линия пересечения плоскости \( \triangle ABC_1 \) и плоскости основания \( \triangle ABC \).

Проведём в плоскости основания ABC высоту CD к гипотенузе AB. Так как \( \triangle ABC \) — равнобедренный прямоугольный, D — середина AB. \( AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{(4\sqrt{6})^2 + (4\sqrt{6})^2} = \sqrt{16 \cdot 6 + 16 \cdot 6} = \sqrt{96 + 96} = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3} \).

\( CD = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} 8\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \).

Теперь рассмотрим плоскость \( ABC_1 \) и плоскость основания \( ABC \). Ребро — AB. Проведём C₁E \( \perp \) AB и CF \( \perp \) AB (где E на AB, F на AB). Угол \( \angle C_1EC = 30^{\circ} \).

Поскольку призма прямая, боковые рёбра перпендикулярны основанию.
CC₁ \( \perp \) ABC.

Чтобы найти площадь сечения \( \triangle ABC_1 \), нам нужна высота этого треугольника, опущенная на сторону AB.
Пусть \( h_{ABC_1} \) — высота \( \triangle ABC_1 \) из вершины C₁ на сторону AB.

По теореме о трёх перпендикулярах:
Так как CC₁ \( \perp \) AB и AC \( \perp \) BC (это не верно, \( \angle C = 90^{\circ} \)).
В \( \triangle ABC \): \( CD \perp AB \).
В \( \triangle ABC_1 \): \( C_1E \perp AB \).

Угол наклона плоскости ABC₁ к плоскости основания ABC равен 30°.
Это угол между плоскостями по ребру AB. Проведём из C₁ перпендикуляр C₁H к плоскости основания. Тогда C₁H = h (высота призмы).
Проведём CD \( \perp \) AB, где D — середина AB. Тогда \( \angle C_1DC = 30^{\circ} \) — линейный угол двугранного угла.

В прямоугольном треугольнике C₁DC ( \( \angle C_1DC = 30^{\circ} \) и \( \angle C_1CD = 90^{\circ} \) ):
\[ C_1D = \frac{CD}{\cos(30^{\circ})} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 8 \]
Это расстояние от D до точки на прямой AB, ближайшей к C₁. Но D — середина AB.

Найдем высоту призмы \( h = CC_1 \).
В \( \triangle C_1DC \), \( \angle C_1CD = 90^{\circ} \) — неверно. \( \angle C_1HC = 90^{\circ} \).

Угол наклона плоскости ABC₁ к плоскости основания ABC равен 30°.
Линия AB — ребро двугранного угла. Пусть \( CD \perp AB \) в плоскости ABC, тогда CD — расстояние от C до AB. \( CD = 4\sqrt{3} \).

Пусть \( C_1E \perp AB \) в плоскости ABC₁. Тогда \( \angle CDE = 30^{\circ} \) (если CD и C₁E параллельны, что не так).

Рассмотрим проекцию \( \triangle ABC_1 \) на плоскость основания.
Проекция \( \triangle ABC_1 \) на плоскость ABC — это \( \triangle ABC \).
Площадь проекции \( S_{ABC} = 48 \).

Формула для площади наклонной фигуры:
\( S_{наклонная} = \frac{S_{проекции}}{\cos(\alpha)} \), где \( \alpha \) — угол между плоскостями.

В нашем случае, \( S_{ABC_1} \) — площадь сечения, \( S_{ABC} = 48 \) — площадь проекции наклонной фигуры на плоскость основания, \( \alpha = 30^{\circ} \).

\[ S_{ABC_1} = \frac{S_{ABC}}{\cos(30^{\circ})} \]
\[ S_{ABC_1} = \frac{48}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 48 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{96}{\sqrt{3}} = \frac{96\sqrt{3}}{3} = 32\sqrt{3} \]

Проверка:
Нам дана площадь сечения ABC₁, которое наклонено к плоскости основания ABC.
Площадь сечения \( S_{сеч} \).
Площадь проекции этого сечения на плоскость основания равна \( S_{осн} = 48 \).
Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен \( \alpha = 30^{\circ} \).

\( S_{осн} = S_{сеч} \cdot \cos(\alpha) \)
\( 48 = S_{сеч} \cdot \cos(30^{\circ}) \)
\[ S_{сеч} = \frac{48}{\cos(30^{\circ})} = \frac{48}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{96}{\sqrt{3}} = 32\sqrt{3} \]

Ответ: $$32\sqrt{3}$$.