3. Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с гипотенузой. 20 см, и катетом 16 см. Диагональ боковой грани, содержащей второй катет треугольника, равна 13см, Найдите: высоту призмы, площадь боковой поверхности, площадь полной поверхности.

Решение:

Дано:
Прямая призма.
Основание — прямоугольный треугольник.
Гипотенуза основания \( c = 20 \) см.
Один катет основания \( a = 16 \) см.
Диагональ боковой грани (содержащей второй катет) \( d = 13 \) см.

Найти:
1. Высота призмы \( h \).
2. Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \).
3. Площадь полной поверхности \( S_{полн} \).

1. Найдем второй катет основания (b).
   По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:
   \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
   \[ 16^2 + b^2 = 20^2 \]
   \[ 256 + b^2 = 400 \]
   \[ b^2 = 400 - 256 \]
   \[ b^2 = 144 \]
   \[ b = \sqrt{144} = 12 \] см.
2. Найдем высоту призмы (h).
   Боковая грань, содержащая второй катет \( b \), является прямоугольником. Ее стороны — это второй катет основания \( b \) и высота призмы \( h \). Диагональ этого прямоугольника \( d \) связана с его сторонами теоремой Пифагора:
   \[ b^2 + h^2 = d^2 \]
   \[ 12^2 + h^2 = 13^2 \]
   \[ 144 + h^2 = 169 \]
   \[ h^2 = 169 - 144 \]
   \[ h^2 = 25 \]
   \[ h = \sqrt{25} = 5 \] см.
3. Найдем площадь боковой поверхности (S_бок).
   Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту.
   Периметр основания \( P = a + b + c \)
   \[ P = 16 + 12 + 20 = 48 \] см.
   \[ S_{бок} = P \cdot h \]
   \[ S_{бок} = 48 \cdot 5 = 240 \] см².
4. Найдем площадь полной поверхности (S_полн).
   Площадь полной поверхности равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания.
   Площадь основания (прямоугольного треугольника): \( S_{осн} = \frac{1}{2}ab \)
   \[ S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 8 \cdot 12 = 96 \] см².
   \[ S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн} \]
   \[ S_{полн} = 240 + 2 \cdot 96 \]
   \[ S_{полн} = 240 + 192 = 432 \] см².

Ответ: Высота призмы равна 5 см, площадь боковой поверхности — 240 см², площадь полной поверхности — 432 см².