3) Отрезок BM — медиана равнобедренного треугольника ABC (AB = BC). На стороне AB отметили точку K такую, что KM параллельно BC. Докажите, что BK = KM.

Так как BM — медиана треугольника ABC, точка M — середина AC. Следовательно, \(AM=MC\), то есть \(AM=\frac{AC}{2}\).

Рассмотрим треугольники AKM и ABC. Они подобны по двум углам:

• \(\angle A\) — общий;
• \(\angle AKM=\angle ABC\), так как \(KM\parallel BC\).

Из подобия:

\(\frac{AK}{AB}=\frac{AM}{AC}=\frac12\), поэтому \(AK=\frac{AB}{2}\).

Тогда:

\(BK=AB-AK=AB-\frac{AB}{2}=\frac{AB}{2}\).

Кроме того, из подобия:

\(\frac{KM}{BC}=\frac{AM}{AC}=\frac12\), поэтому \(KM=\frac{BC}{2}\).

Так как \(AB=BC\), получаем:

\(BK=\frac{AB}{2}=\frac{BC}{2}=KM\).

Ответ: \(BK=KM\).