№ 3. Периметр ∆ АВС = 54, ВС = АС, внешний угол при угле С равен 136°, одна из сторон равна 14. Найдите длины всех сторон и градусные меры всех углов Д АВС.

Пошаговое решение:

1. Внешний угол при вершине C равен 136°. Это значит, что внутренний угол C равен 180° - 136° = 44°.
2. Так как ВС = АС, треугольник ABC — равнобедренный. Углы при основании AB равны: ∠A = ∠B.
3. Сумма углов треугольника равна 180°. Поэтому, ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
4. Подставляем известные значения: ∠A + ∠A + 44° = 180°.
5. 2∠A = 180° - 44° = 136°.
6. ∠A = 136° / 2 = 68°.
7. Таким образом, углы треугольника: ∠A = 68°, ∠B = 68°, ∠C = 44°.
8. Теперь найдем длины сторон. Периметр равен 54, и ВС = АС.
9. Если сторона, равная 14, является основанием AB, то: AC + BC + 14 = 54. Так как AC = BC, то 2AC + 14 = 54. 2AC = 40, AC = 20. Значит, стороны: AB = 14, AC = 20, BC = 20.
10. Если сторона, равная 14, является одной из равных сторон (AC или BC), то: 14 + 14 + AB = 54. 28 + AB = 54, AB = 26. Значит, стороны: AC = 14, BC = 14, AB = 26.
11. Проверяем условие: ВС = АС.
12. Вариант 1: Стороны 14, 20, 20. Здесь BC = AC = 20, AB = 14. Периметр = 14 + 20 + 20 = 54. Углы: 68°, 68°, 44°.
13. Вариант 2: Стороны 14, 14, 26. Здесь BC = AC = 14, AB = 26. Периметр = 14 + 14 + 26 = 54. Углы: 68°, 68°, 44°.
14. В треугольнике сумма двух сторон должна быть больше третьей.
15. Вариант 1: 20 + 20 > 14 (40 > 14 - верно). 14 + 20 > 20 (34 > 20 - верно).
16. Вариант 2: 14 + 14 > 26 (28 > 26 - верно). 14 + 26 > 14 (40 > 14 - верно).
17. Оба варианта подходят по неравенству треугольника. Однако, в задачах такого типа обычно подразумевается, что данная сторона - это одна из трех.
18. Если одна из сторон равна 14, и ВС=АС:
19. Случай 1: AB=14. Тогда AC+BC+14=54, 2AC=40, AC=20. Стороны: 14, 20, 20.
20. Случай 2: AC=14. Тогда BC=14. 14+14+AB=54, AB=26. Стороны: 14, 14, 26.

Ответ: Углы треугольника: 68°, 68°, 44°. Возможны два варианта длин сторон: 1) 14, 20, 20. 2) 14, 14, 26.