3. Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, а радиус вписанной окружности — 2 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Обозначим катеты через \(a,b\), а гипотенузу через \(c\). Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности равен \(r=\frac{a+b-c}{2}\). Поэтому \(a+b-c=4\).

По условию \(a+b+c=24\). Складываем равенства: \(2(a+b)=28\), значит, \(a+b=14\), а \(c=10\).

Из теоремы Пифагора \(a^2+b^2=100\). Тогда \((a+b)^2=a^2+b^2+2ab\), откуда \(196=100+2ab\) и \(ab=48\). Катеты равны 6 см и 8 см.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза является диаметром описанной окружности, поэтому \(R=\frac{c}{2}=5\) см.

Ответ: 5 см.