3. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: В прямоугольной трапеции, описанной около окружности, высота равна меньшей боковой стороне. Большая боковая сторона является одним из оснований.
2. Шаг 2: Пусть большая боковая сторона (основание) равна 'b', меньшая боковая сторона (высота) равна 'h', а основания трапеции равны 'a' и 'c'.
3. Шаг 3: По условию, большая боковая сторона равна 7. В прямоугольной трапеции большая боковая сторона является одним из оснований. Следовательно, одно из оснований равно 7.
4. Шаг 4: Периметр P = a + b + c + h = 22.
5. Шаг 5: Для четырехугольника, описанного около окружности, сумма противоположных сторон равна: a + c = b + h.
6. Шаг 6: Подставляем в формулу периметра: (b + h) + (b + h) = 22, то есть 2 * (b + h) = 22.
7. Шаг 7: Отсюда, сумма оснований (или сумма боковых сторон) равна: b + h = 11.
8. Шаг 8: Мы знаем, что большая боковая сторона (которая является одним из оснований) равна 7. Обозначим ее как 'c' = 7.
9. Шаг 9: Теперь находим другое основание 'a': a + 7 = 11, следовательно, a = 11 - 7 = 4.
10. Шаг 10: В прямоугольной трапеции, описанной около окружности, меньшая боковая сторона (h) равна высоте, а высота равна диаметру вписанной окружности.
11. Шаг 11: Меньшая боковая сторона (h) равна разности между основаниями, если большая боковая сторона - это одно из оснований. Однако, в условии сказано, что большая боковая сторона равна 7. В прямоугольной трапеции, вписанной в окружность, большая боковая сторона всегда является основанием. И она равна 7.
12. Шаг 12: Так как трапеция прямоугольная и описана около окружности, то высота трапеции равна меньшей боковой стороне, и эта высота равна диаметру вписанной окружности.
13. Шаг 13: Из свойства описанного четырехугольника, сумма боковых сторон равна сумме оснований. P = (a+c) + (b+h). В прямоугольной трапеции: a + c = b + h.
14. Шаг 14: Периметр = 2*(сумма оснований) = 22. Сумма оснований = 11.
15. Шаг 15: Большая боковая сторона равна 7. В прямоугольной трапеции, большая боковая сторона - это одно из оснований. Пусть это будет основание 'c' = 7.
16. Шаг 16: Тогда другое основание 'a' = 11 - 7 = 4.
17. Шаг 17: Меньшая боковая сторона 'h' равна высоте трапеции, и она равна диаметру вписанной окружности.
18. Шаг 18: В прямоугольной трапеции, описанной около окружности, высота (меньшая боковая сторона) равна разности между основаниями, если меньшая боковая сторона не является высотой. Но здесь большая боковая сторона равна 7, и она является основанием.
19. Шаг 19: Рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD, где AB - высота (меньшая боковая сторона), CD - большая боковая сторона (и одно из оснований), AD и BC - основания.
20. Шаг 20: По свойству описанного четырехугольника: AB + CD = AD + BC.
21. Шаг 21: Периметр: AB + CD + AD + BC = 22.
22. Шаг 22: Подставляем: (AD + BC) + (AD + BC) = 22, следовательно, AD + BC = 11.
23. Шаг 23: Большая боковая сторона равна 7. В прямоугольной трапеции, боковая сторона, которая не является перпендикулярной к основаниям, является большим основанием. Пусть CD = 7.
24. Шаг 24: Тогда AD + BC = 11.
25. Шаг 25: В прямоугольной трапеции, меньшая боковая сторона (AB) равна высоте, и она равна диаметру вписанной окружности.
26. Шаг 26: По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, разницей оснований и боковой стороной, мы не можем найти меньшую боковую сторону напрямую.
27. Шаг 27: Но есть свойство: в прямоугольной трапеции, описанной около окружности, высота (меньшая боковая сторона) равна полусумме оснований. h = (a+c)/2.
28. Шаг 28: Мы знаем, что сумма оснований a+c = 11.
29. Шаг 29: Значит, высота (меньшая боковая сторона) h = 11 / 2 = 5.5.
30. Шаг 30: Радиус окружности равен половине высоты. r = h / 2 = 5.5 / 2 = 2.75.

Ответ: 2.75