№3. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 64, её большая боковая сторона равна 28. Найдите радиус окружности.

Дано:

• Трапеция ABCD, описана около окружности.
• Периметр (P) = 64.
• Большая боковая сторона (BC) = 28.

Найти:

• Радиус окружности (r).

Решение:

1. Свойство описанной трапеции: Для трапеции, описанной около окружности, сумма оснований равна сумме боковых сторон. То есть, AB + CD = AD + BC.
2. Периметр: P = AB + BC + CD + AD.
3. Подставим условие из свойства: P = (AD + BC) + (AD + BC) = 2 * (AD + BC).
4. Нам дано, что P = 64 и BC = 28. Значит, 64 = 2 * (AD + 28).
5. Разделим обе стороны на 2: 32 = AD + 28.
6. Найдем длину основания AD: AD = 32 - 28 = 4.
7. Связь с радиусом: В прямоугольной трапеции высота равна диаметру вписанной окружности. Так как трапеция прямоугольная, одна из боковых сторон является высотой. Если большая боковая сторона (28) — это боковая сторона, а не высота, то меньшая боковая сторона (равная AD = 4) является высотой.
8. Диаметр (d) = высота = 4.
9. Радиус (r) = диаметр / 2 = 4 / 2 = 2.

Ответ: 2