3. Перпендикуляр, проведенный из вершины тупого угла ромба, делит его сторону пополам. Меньшая диагональ ромба равна 12 см. Найдите углы и периметр ромба.

Пусть тупой угол ромба равен \(\alpha\), а сторона — \(a\). Перпендикуляр из вершины тупого угла опускается на противоположную сторону, параллельную противоположной стороне ромба. Его основание делит эту сторону пополам. Проекция стороны ромба на эту прямую составляет половину стороны, поэтому \(-a\cos\alpha=a/2\), то есть \(\cos\alpha=-1/2\). Следовательно, \(\alpha=120°\), а второй угол равен \(180°-120°=60°\).

В ромбе с углами 60° и 120° меньшая диагональ равна стороне: из равнобедренных треугольников, образованных диагоналями, либо по теореме косинусов \(d^2=a^2+a^2-2a^2\cos60°=a^2\). Значит, сторона равна 12 см.

Периметр: \(P=4a=4\cdot12=48\) см.

Ответ: углы 60° и 120°; периметр 48 см.