3. Плоскость пересекает сферу. Диаметр сферы, проведённый в одну из точек линии пересечения, имеет длину 4√2 и составляет с плоскостью угол 30°. Найдите длину линии пересечения.

Линия пересечения сферы с плоскостью — окружность. Радиус сферы \(R=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\).

Расстояние от центра сферы до плоскости равно перпендикулярной составляющей радиуса, проведённого к точке пересечения: \(d=R\sin30^\circ=\sqrt{2}\).

Радиус окружности сечения: \(r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{8-2}=\sqrt{6}\).

Длина окружности сечения: \(L=2\pi r=2\pi\sqrt{6}\).

Ответ: \(2\pi\sqrt{6}\).