3. Плоскость пересекает сферу радиуса 6√2 см. Найдите длину линии пересечения, если радиус, проведённый в одну из точек линии пересечения, составляет с плоскостью угол 45°. 1) 12π см; 2) 6π см; 3) 8π см; 4) 8√2π см.

Линия пересечения сферы с плоскостью — окружность. Пусть \(O\) — центр сферы, \(A\) — точка пересечения, а \(O_1\) — проекция центра на плоскость. В прямоугольном треугольнике \(OO_1A\) гипотенуза \(OA=6\sqrt{2}\) см. Угол между радиусом \(OA\) и плоскостью равен \(45°\), поэтому радиус окружности сечения равен проекции \(OA\) на плоскость:

\(O_1A=OA\cos45°=6\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=6\) см.

Длина линии пересечения: \(2\pi\cdot6=12\pi\) см.

Ответ: 1) 12π см.