3. Плоскость α проходит через основание AD трапеции ABCD. Точки M и N — середины боковых сторон трапеции. а) Докажите, что MN ∥ α. б) Найдите AD, если BC = 4 см, MN = 6 см.

а) В трапеции отрезок, соединяющий середины боковых сторон, является средней линией, поэтому MN ∥ AD. При этом MN и AD лежат в плоскости трапеции, а AD лежит также в плоскости α. Плоскость трапеции пересекает α по прямой AD. Поскольку MN параллельна AD и не совпадает с ней, MN не пересекает α, следовательно, MN ∥ α.

б) По свойству средней линии трапеции:

MN = (AD + BC) / 2.

Подставим известные значения: 6 = (AD + 4) / 2, откуда 12 = AD + 4 и AD = 8 см.

Ответ: AD = 8 см.