3. Points A and B divide the circle with center O into arcs AMB and ACB such that arc ACB is 60° less than arc AMB. AM is the diameter of the circle. Find angles AMB, ABM, ACB.

Решение:

Пусть \( \text{arc } AMB = x \). Тогда \( \text{arc } ACB = x - 60^\text{o} \).

Сумма дуг окружности равна 360°:

\[ \text{arc } AMB + \text{arc } ACB = 360^\text{o} \]

\[ x + (x - 60^\text{o}) = 360^\text{o} \]

\[ 2x - 60^\text{o} = 360^\text{o} \]

\[ 2x = 420^\text{o} \]

\[ x = 210^\text{o} \]

Итак, \( \text{arc } AMB = 210^\text{o} \) и \( \text{arc } ACB = 210^\text{o} - 60^\text{o} = 150^\text{o} \).

1. Угол AMB:

\[ \text{∠}AMB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Дуга AB = \( \text{arc } AMB - \text{arc } MB \). Поскольку AM — диаметр, дуга AB = \( \text{arc } AM = 180^\text{o} \) (если M — точка на большей дуге) или дуга AB = \( \text{arc } AB \) (малая дуга).

Однако, если A и M — концы диаметра, то \( \text{arc } AB \) является частью дуги AMB. Угол \( \text{∠}AMB \) опирается на дугу AB. Дуга AB, которая не содержит M, равна \( 360^\text{o} - 210^\text{o} = 150^\text{o} \).

\[ \text{∠}AMB = \frac{1}{2} \text{arc } AB = \frac{1}{2} \times 150^\text{o} = 75^\text{o} \]

2. Угол ABM:

Угол \( \text{∠}ABM \) — вписанный угол, опирающийся на дугу AM. Поскольку AM — диаметр, дуга AM = 180°.

\[ \text{∠}ABM = \frac{1}{2} \text{arc } AM = \frac{1}{2} \times 180^\text{o} = 90^\text{o} \]

3. Угол ACB:

Угол \( \text{∠}ACB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Мы уже нашли, что дуга AB, не содержащая M, равна 150°.

\[ \text{∠}ACB = \frac{1}{2} \text{arc } AB = \frac{1}{2} \times 150^\text{o} = 75^\text{o} \]

Перепроверка:

AM — диаметр. Значит, \( \text{arc } ABM \) и \( \text{arc } ACM \) — полуокружности, если B и C лежат на разных сторонах от AM.

У нас есть \( \text{arc } AMB = 210^\text{o} \) и \( \text{arc } ACB = 150^\text{o} \). AM — диаметр. Это означает, что дуга AB + дуга BM = 210°, и дуга AC + дуга CB = 150°.

Так как AM — диаметр, то \( \text{arc } AB + \text{arc } BM = 180^\text{o} \) или \( \text{arc } AM = 180^\text{o} \).

Если AM — диаметр, то точки A и M лежат на противоположных концах окружности. Дуги, отсекаемые диаметром, равны 180°.

Значит, \( \text{arc } AB \) (меньшая) + \( \text{arc } BM \) (меньшая) = 180°.

И \( \text{arc } AC \) (меньшая) + \( \text{arc } CB \) (меньшая) = 180°.

Дано: \( \text{arc } AMB = 210^\text{o} \) и \( \text{arc } ACB = 150^\text{o} \).

Угол \( \text{∠}AMB \) опирается на дугу AB. Дуга AB = \( \text{arc } AMB \) - \( \text{arc } MB \). Или \( \text{arc } AB \) = \( 360^\text{o} - 210^\text{o} = 150^\text{o} \).

\( \text{∠}AMB = \frac{1}{2} \text{arc } AB = \frac{1}{2} \times 150^\text{o} = 75^\text{o} \).

Угол \( \text{∠}ABM \) опирается на дугу AM. Дуга AM = 180° (так как AM — диаметр).

\[ \text{∠}ABM = \frac{1}{2} \times 180^\text{o} = 90^\text{o} \]

Угол \( \text{∠}ACB \) опирается на дугу AB. Дуга AB = 150°.

\[ \text{∠}ACB = \frac{1}{2} \times 150^\text{o} = 75^\text{o} \]

Ответ: ∠AMB = 75°, ∠ABM = 90°, ∠ACB = 75°.