4. Chords AB and CD intersect at point E such that AE = 3 cm, BE = 36 cm, CE : DE = 3 : 4. Find CD.

Решение:

По теореме о пересекающихся хордах в окружности, произведение отрезков пересекающихся хорд равны:

\[ AE |\cdot BE = CE |\cdot DE \]

Подставим известные значения:

\[ 3 |\cdot 36 = CE |\cdot DE \]

\[ 108 = CE |\cdot DE \]

Также дано, что \( CE : DE = 3 : 4 \). Пусть \( CE = 3y \) и \( DE = 4y \).

Подставим это в уравнение:

\[ 108 = (3y) |\cdot (4y) \]

\[ 108 = 12y^2 \]

\[ y^2 = \frac{108}{12} = 9 \]

\[ y = |sqrt{9} = 3 \]

Теперь найдем длины отрезков CE и DE:

\[ CE = 3y = 3 |\cdot 3 = 9 \text{ см} \]

\[ DE = 4y = 4 |\cdot 3 = 12 \text{ см} \]

Длина хорды CD равна сумме длин отрезков CE и DE:

\[ CD = CE + DE = 9 + 12 = 21 \text{ см} \]

Ответ: CD = 21 см.