3. Построить график функции $y=\frac{8x^3}{\left(1-\left(\frac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}\right)^2\right)\cdot(1+x^2)^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Построить график функции $y=\frac{8x^3}{\left(1-\left(\frac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}\right)^2\right)\cdot(1+x^2)^2}$.$ Фото задания

3. Построить график функции $y=\frac{8x^3}{\left(1-\left(\frac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}\right)^2\right)\cdot(1+x^2)^2}$.

Accepted Answer

Область определения исходной функции: $x\ne0$, так как при $x=0$ знаменатель равен нулю.

Упростим выражение, чтобы построить график:

\[\left(1-\left(\frac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}\right)^2\right)(1+x^2)^2=\frac{(1+x^2)^4-(1-x^2)^4}{(1+x^2)^2}.\]

Применим разность квадратов:

\[(1+x^2)^4-(1-x^2)^4=\big((1+x^2)^2-(1-x^2)^2\big)\big((1+x^2)^2+(1-x^2)^2\big)=8x^2(1+x^4).\]

Следовательно, при $x\ne0$:

\[y=\frac{8x^3}{\frac{8x^2(1+x^4)}{(1+x^2)^2}}=\frac{(1+x^2)^2}{x(1+x^4)}.\]

Функция нечётная; при $x\to0$ имеет вертикальную асимптоту $x=0$, а при $x\to\pm\infty$ стремится к нулю. График ниже показан на интервале от $-5$ до $5$; разрыв в точке $x=0$ сохранён.

3. Построить график функции \(y=\frac{8x^3}{\left(1-\left(\frac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}\right)^2\right)\cdot(1+x^2)^2}\).

Ответ: