3. Постройте: а) точки пересечения прямой EF с плоскостями (ABC) и (A₁B₁C₁); б) линию пересечения плоскостей (EFK) и (ABC); в) сечение многогранника плоскостью (EFK).

а) Точка E уже принадлежит плоскости (A₁B₁C₁), поэтому верхняя точка пересечения — E. Продолжим прямую EF до пересечения с плоскостью (ABC) и обозначим эту точку G. Тогда EF ∩ (ABC) = G.

б) Точка K принадлежит плоскости (EFK) и плоскости (ABC). Точка G также принадлежит обеим плоскостям, поскольку G ∈ EF ⊂ (EFK) и G ∈ (ABC). Поэтому линия пересечения плоскостей — прямая KG:

\( (EFK) \cap (ABC) = KG \).

в) Для построения сечения:

1. На нижней грани провести прямую KG; её часть внутри многогранника является отрезком с концами на рёбрах нижней грани.
2. Через E на верхней грани провести прямую, параллельную KG. Точки её пересечения с рёбрами верхней грани обозначить P и Q.
3. Соединить полученные точки через грани многогранника с точками F и K.
4. Замкнутый многоугольник, ограниченный полученными отрезками, является искомым сечением многогранника плоскостью (EFK).

Схематически основные построения выглядят так:

Ответ: а) верхняя точка — E, нижняя — G; б) линия пересечения — KG; в) сечение строится как многоугольник, полученный пересечением плоскости (EFK) с гранями многогранника.