3. Постройте: а) точки пересечения прямой PM с плоскостями (DCC₁) и (AA₁B₁); б) линию пересечения плоскостей (MNP) и (AA₁B₁); в) сечение многогранника плоскостью (MNP).

а) Обозначим через \(X\) точку пересечения прямой \(PM\) с плоскостью \((DCC_1)\). Поскольку прямая \(PM\) лежит в нижней плоскости \((ABCD)\), а \((DCC_1)\cap(ABCD)=DC\), получаем:

\[X=PM\cap DC.\]

Точка \(P\) принадлежит ребру \(AB\), а ребро \(AB\) лежит в плоскости \((AA_1B_1)\). Поэтому:

\[PM\cap(AA_1B_1)=P.\]

б) Точки \(N\) и \(P\) принадлежат плоскости \((AA_1B_1)\), а также плоскости \((MNP)\). Следовательно, линия пересечения этих плоскостей проходит через точки \(N\) и \(P\):

\[(MNP)\cap(AA_1B_1)=NP.\]

в) Плоскость \((MNP)\) пересекает грани куба по следующим отрезкам:

1. на левой грани — \(NP\);
2. на задней грани — \(NM\);
3. на нижней грани — \(MP\).

Следовательно, сечение многогранника плоскостью \((MNP)\) является треугольником \(NMP\).

Для построения нужно соединить на рисунке точки \(N\) и \(P\), \(N\) и \(M\), \(M\) и \(P\). Полученная ломаная \(NPMN\) ограничивает искомое сечение.

Ответ: а) точки пересечения — \(X=PM\cap DC\) и \(P\); б) линия пересечения — \(NP\); в) сечение — треугольник \(NMP\).