3. Постройте график функции y = −2x² − 3x + 5. Найдите с помощью графика: а) координаты вершины параболы; б) нули функции и промежутки знакопостоянства; в) промежуток, на котором функция возрастает; г) множество значений функции.

Для вершины используем \(x_0=-\frac{b}{2a}\). Здесь \(a=-2\), \(b=-3\), поэтому \(x_0=-\frac34\). Подстановка даёт \(y_0=\frac{49}{8}\). Ветви параболы направлены вниз, поскольку коэффициент при \(x^2\) отрицательный.

Нули найдём из уравнения \(-2x^2-3x+5=0\): \(2x^2+3x-5=0=(2x+5)(x-1)\). Следовательно, корни: \(x=-\frac52\) и \(x=1\).

Функция возрастает до абсциссы вершины, а затем убывает. Она положительна между корнями и отрицательна вне промежутка между ними.

Ответ: а) вершина \(\left(-\frac34;\frac{49}{8}\right)\); б) нули \(-\frac52\) и 1, функция положительна при \(-\frac52<x<1\), отрицательна при \(x<-\frac52\) и \(x>1\); в) возрастает на \((−\infty;−\frac34]\); г) множество значений \((−\infty;\frac{49}{8}]\).