3. Постройте график функции y=x²−2x−8. Найдите с помощью графика: а) значение y при x=−1,5; б) значения x, при которых y=3; в) нули функции; г) промежутки, в которых y>0 и в которых y<0; д) промежуток, в котором функция возрастает.

Преобразуем формулу, чтобы определить вершину параболы: \(y=x^2-2x-8=(x-1)^2-9\). Вершина — (1; −9), ветви направлены вверх.

Нули найдём разложением на множители: \(x^2-2x-8=(x-4)(x+2)\), поэтому корни \(x=-2\) и \(x=4\). Для построения можно отметить вершину и точки (0; −8), (2; −8), а также нули.

а) Подставим \(x=-1.5\): \(y=(-1.5)^2-2(-1.5)-8=2.25+3-8=-2.75\).

б) Решим уравнение \(x^2-2x-8=3\): \(x^2-2x-11=0\), откуда \(x=1\pm2\sqrt3\) (примерно −2.46 и 4.46).

в) Нули функции: \(x=-2\) и \(x=4\).

г) Парабола направлена вверх, поэтому выше оси x она вне промежутка между корнями, а ниже — между ними.

д) Функция возрастает справа от абсциссы вершины.

Ответ: а) −2,75; б) \(x=1-2\sqrt3\) или \(x=1+2\sqrt3\); в) −2 и 4; г) \(y>0\) при \(x\in(-\infty;-2)\cup(4;+)\), \(y<0\) при \(x\in(-2;4)\); д) \([1;+)\).