3. Постройте график функции y = x² − 4x − 5. Найдите с помощью графика: а) значение y при x = 0,5; б) значения x, при которых y = 3; в) нули функции; промежуток, в котором функция возрастает.

Приведём функцию к виду с квадратом двучлена:

\(y=x^2-4x-5=(x-2)^2-9\).

График — парабола с ветвями вверх, вершиной \((2;-9)\) и осью симметрии \(x=2\). Для построения можно отметить также точки пересечения с осями: \((-1;0)\), \((5;0)\), \((0;-5)\).

а) Подставим \(x=0.5\): \(y=0.5^2-4\cdot0.5-5=0.25-2-5=-6.75\).

б) Найдём значения \(x\), при которых \(y=3\): \(x^2-4x-5=3\), поэтому \(x^2-4x-8=0\). Отсюда \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+32}}{2}=2\pm2\sqrt3\).

в) Нули функции: \(x^2-4x-5=(x-5)(x+1)=0\), значит, \(x=-1\) и \(x=5\). Парабола возрастает справа от вершины, то есть на промежутке \((2;+\infty)\).

Ответ: а) \(-6.75\); б) \(x=2-2\sqrt3\) и \(x=2+2\sqrt3\); в) нули \(-1\) и \(5\), функция возрастает на \((2;+\infty)\).