3. Постройте график функции y = −x² + 5|x| + x и определите, при каких значениях c прямая y = c имеет с графиком ровно три общие точки.

Раскроем модуль:

При \(x\ge0\): \(y=-x^2+5x+x=-x^2+6x=9-(x-3)^2\).

При \(x<0\): \(y=-x^2-5x+x=-x^2-4x=4-(x+2)^2\).

Итак, график состоит из двух ветвей парабол:

\(y=\begin{cases}-x^2-4x,&x<0\\-x^2+6x,&x\ge0\end{cases}\)

Левая ветвь имеет вершину \((-2.4)\), правая — вершину \((3.9)\). В точке \(x=0\) обе формулы дают значение \(0\).

Для \(0

При \(c=4\) левая ветвь касается прямой в вершине, а правая пересекает её один раз, поэтому точек только две.

Ответ: \(0