№ 3. Постройте график функции y = x² − 5x + 6. Найдите точки пересечения графика с прямой y = 1,5; найдите x, при которых y = 6; определите промежутки знакопостоянства функции; область определения; промежутки монотонности.

1. Преобразуем выражение, чтобы определить вершину параболы:

y = x² − 5x + 6 = (x − 2,5)² − 0,25.

Вершина — (2,5; −0,25), ветви направлены вверх. Нули функции: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0, то есть x = 2 и x = 3.

2. Пересечение с прямой y = 1,5: решаем уравнение x² − 5x + 6 = 1,5.

x² − 5x + 4,5 = 0; D = 25 − 18 = 7; x = (5 ± √7)/2. Точки пересечения: ((5 − √7)/2; 1,5) и ((5 + √7)/2; 1,5).

3. Если y = 6, то x² − 5x + 6 = 6, откуда x² − 5x = 0, x(x − 5) = 0. Значит, x = 0 или x = 5.

4. Область определения: все действительные числа. Поскольку корни 2 и 3, а ветви параболы направлены вверх, y > 0 при x ∈ (−∞; 2) ∪ (3; +∞), y < 0 при x ∈ (2; 3), y = 0 при x = 2 и x = 3.

5. Парабола убывает до вершины и возрастает после неё: убывает на (−∞; 2,5], возрастает на [2,5; +∞).