3. Постройте график функции y = −x² − 6x + 7. С помощью графика найдите: а) область определения и область значений; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.

Преобразуем формулу, выделив полный квадрат: \(y=-(x^2+6x)+7=-(x+3)^2+16\). Это парабола с вершиной \((-3;16)\), ветви направлены вниз.

Для построения можно отметить вершину и симметричные точки: \((-7;0)\), \((-6;7)\), \((-3;16)\), \((0;7)\), \((1;0)\).

1. Область определения: квадратный трёхчлен определён при любом действительном \(x\), значит, \(D(y)=\mathbb{R}\). Наибольшее значение достигается в вершине и равно 16; вниз парабола не ограничена, поэтому \(E(y)=(-\infty;16]\).
2. Нули: \(-(x+3)^2+16=0\), следовательно, \((x+3)^2=16\), откуда \(x=-7\) или \(x=1\).
3. Парабола выше оси \(x\) между нулями и ниже неё вне этого промежутка.
4. До вершины функция возрастает, после вершины убывает.
5. Наибольшее значение — 16 при \(x=-3\); наименьшего значения нет.

Ответ: а) \(D(y)=\mathbb{R}\), \(E(y)=(-\infty;16]\); б) \(x=-7,1\); в) \(y>0\) при \(x\in(-7;1)\), \(y<0\) при \(x\in(-\infty;-7)\cup(1;+\infty)\); г) возрастает на \((-\infty;-3]\), убывает на \([-3;+\infty)\); д) максимум 16, минимума нет.