3. Постройте график квадратичной функции и опишите ее свойства: y = (x - 2)(x + 4)

Решение:

Сначала раскроем скобки, чтобы получить стандартный вид квадратной функции:

y = (x - 2)(x + 4) = x² + 4x - 2x - 8 = x² + 2x - 8.

Теперь построим график и опишем свойства функции y = x² + 2x - 8.

1. Направление ветвей: Коэффициент при x² равен 1 (a = 1), что больше нуля. Значит, ветви параболы направлены вверх.
2. Вершина параболы:
   x₀ = -b / (2a) = -2 / (2 * 1) = -1.
   y₀ = (-1)² + 2*(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9.
   Вершина параболы находится в точке (-1; -9).
3. Ось симметрии: Уравнение оси симметрии x = x₀, то есть x = -1.
4. Точки пересечения с осями:
   С осью Oy: При x = 0, y = 0² + 2*0 - 8 = -8. Точка пересечения с Oy: (0; -8).
   С осью Ox: При y = 0, x² + 2x - 8 = 0. Найдем корни квадратного уравнения:
   D = b² - 4ac = 2² - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36.
   √D = 6.
   x₁ = (-2 - 6) / (2 * 1) = -8 / 2 = -4.
   x₂ = (-2 + 6) / (2 * 1) = 4 / 2 = 2.
   Точки пересечения с Ox: (-4; 0) и (2; 0).
5. Дополнительные точки (для точности графика):
   Возьмем точки симметричные относительно оси x = -1.
   Если x = 1, y = 1² + 2*1 - 8 = 1 + 2 - 8 = -5. Точка (1; -5).
   Точка, симметричная (1; -5) относительно x = -1, будет (-3; -5), так как (-1 - (1 - (-1))) = -1 - 2 = -3.

График функции:

Свойства функции:

• Область определения: D(y) = (-∞; +∞) (все действительные числа).
• Область значений: E(y) = [-9; +∞) (значения y больше или равны -9).
• Функция является четной или нечетной: Так как ось симметрии x = -1 не совпадает с осью Oy (x=0) и не проходит через начало координат, функция не является ни четной, ни нечетной.
• Монотонность:
  Функция убывает на промежутке (-∞; -1].
  Функция возрастает на промежутке [-1; +∞).
• Нули функции: x = -4 и x = 2.
• Промежутки знакопостоянства:
  y > 0 при x ∈ (-∞; -4) ∪ (2; +∞).
  y < 0 при x ∈ (-4; 2).

Ответ: График построен, свойства описаны.