3. Постройте и прочитайте график функции: f(x) = { 3x, если x ≤ 1; x² - 6x + 8, если 1 < x ≤ 4. 1) D(f), E(f); 2) Возрастание и убывание; 3) Ограниченность; 4) Наибольшее и наименьшее значения функции.

Решение:

График функции:

• При x ≤ 1, функция f(x) = 3x. Это луч, исходящий из точки (1, 3) и уходящий влево вниз. При x=1, f(x)=3. При x=0, f(x)=0. При x=-1, f(x)=-3.
• При 1 < x ≤ 4, функция f(x) = x² - 6x + 8. Это часть параболы. Вершина параболы находится в точке x = -b/(2a) = -(-6)/(2*1) = 3. Значение функции в вершине: f(3) = 3² - 6*3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1. При x=1, f(1) = 1² - 6*1 + 8 = 1 - 6 + 8 = 3. При x=4, f(4) = 4² - 6*4 + 8 = 16 - 24 + 8 = 0. Таким образом, на этом интервале график идет от точки (1, 3) (не включая) до вершины (3, -1) и затем до точки (4, 0) (включая).

Анализ функции:

1. D(f) (Область определения): Все действительные числа, т.е. (-∞; +∞). E(f) (Область значений): Наименьшее значение -1 (в вершине параболы), наибольшего значения нет. Таким образом, E(f) = [-1; +∞).
2. Возрастание и убывание:
   • Функция возрастает на интервале (-∞; 1] (т.к. 3x - возрастающая функция).
   • Функция убывает на интервале (1; 3] (часть параболы до вершины).
   • Функция возрастает на интервале [3; 4] (часть параболы от вершины).
3. Ограниченность: Функция ограничена снизу (наименьшее значение -1), но не ограничена сверху.
4. Наибольшее и наименьшее значения функции:
   • Наименьшее значение функции равно -1 и достигается при x = 3.
   • Наибольшего значения функция не имеет.