3. Постройте треугольник АВС, если А(-1; 2), В(-2;-3), C(6; 1). Напишите координаты точек пересечения большей стороны этого треугольника с осями координат.

Решение:

Для начала построим треугольник АВС по заданным координатам.

Теперь определим длины сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \).

• Длина стороны AB: \( AB = \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} \)
• Длина стороны BC: \( BC = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{(8)^2 + (4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} \)
• Длина стороны AC: \( AC = \sqrt{(6 - (-1))^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{(7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} \)

Сравним длины сторон: \( AB = \sqrt{26} \approx 5,1 \), \( BC = \sqrt{80} \approx 8,9 \), \( AC = \sqrt{50} \approx 7,1 \). Наибольшая сторона — BC.

Теперь найдём точки пересечения прямой BC с осями координат.

Уравнение прямой, проходящей через точки \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \): \( \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \).

Для точек B(-2; -3) и C(6; 1):

\( \frac{x - (-2)}{6 - (-2)} = \frac{y - (-3)}{1 - (-3)} \)

\( \frac{x + 2}{8} = \frac{y + 3}{4} \)

Умножим обе части на 8:

\( x + 2 = 2(y + 3) \)

\( x + 2 = 2y + 6 \)

\( x - 2y - 4 = 0 \)

Пересечение с осью X (y=0):

\( x - 2(0) - 4 = 0 \) \( x - 4 = 0 \) \( x = 4 \). Точка пересечения с осью X: (4; 0).

Пересечение с осью Y (x=0):

\( 0 - 2y - 4 = 0 \) \( -2y = 4 \) \( y = -2 \). Точка пересечения с осью Y: (0; -2).

Ответ: Наибольшая сторона — BC. Точки пересечения прямой BC с осями координат: (4; 0) и (0; -2).